转自:http://www.felix021.com/blog/read.php?2040

首先用一个非常巧妙的方式,将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度:在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#, aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度,可以在字符串的开始加入另一个特殊字符,这样就不用特殊处理越界问题,比如$#a#b#a#(注意,下面的代码是用C语言写就,由于C语言规范还要求字符串末尾有一个’\0’所以正好OK,但其他语言可能会导致越界)。

下面以字符串12212321为例,经过上一步,变成了 S[] = “#1#2#2#1#2#3#2#1#”;

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度(包括S[i],也就是把该回文串“对折”以后的长度),比如S和P的对应关系:

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S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出,P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度)

那么怎么计算P[i]呢?该算法增加两个辅助变量(其实一个就够了,两个更清晰)id和mx,其中id表示最大回文子串中心的位置,mx则为id+P[id],也就是最大回文子串的边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论,这个算法的关键点就在这里了:如果mx > i,那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点,理解起来会简单很多:

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//记j = 2 * id - i,也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点。
if (mx - i > P[j])
P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i,取最小值,之后再匹配更新。

当 mx - i > P[j] 的时候,以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中,由于 i 和 j 对称,以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中,所以必有 P[i] = P[j],见下图。

manacher1

当 P[j] >= mx - i 的时候,以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中,但是基于对称性可知,下图中两个绿框所包围的部分是相同的,也就是说以S[i]为中心的回文子串,其向右至少会扩张到mx的位置,也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称,就只能老老实实去匹配了。

manacher2
对于 mx <= i 的情况,无法对 P[i]做更多的假设,只能P[i] = 1,然后再去匹配了。

题目: http://www.lintcode.com/en/problem/longest-palindromic-substring/

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class Solution {
public:
/**
* @param s input string
* @return the longest palindromic substring
*/
string longestPalindrome(string& s) {
if (s.size() == 0) return "";
vector<int> p(2 * s.size() + 1, 1);
int id = 0, mx = 0;
int maxNum = 0;
string result = "";
for (int i = 1; i <= 2 * s.size() - 1; i++) {
if (mx > i)
p[i] = (p[2 * id - i] < (mx -i) ? p[2 * id - i] : (mx - i));
while (i - p[i] >= 0 && i + p[i] <= 2 * s.size() && get(s, i - p[i]) == get(s, i + p[i]))
p[i]++;
if (i + p[i] > mx) {
mx = i + p[i];
id = i;
}
if (p[i] > maxNum) {
maxNum = p[i];
result = s.substr((i - p[i] + 1) / 2, p[i] - 1);
}
}
return result;
}
char get(string s, int pos) {
if (pos % 2 == 0)
return '#';
else
return s[pos / 2];
}
};

另外我自己想的一种方式是区分奇偶数,设两个dp数组even和odd,even[i]表示以s[i]为结尾的字符数为偶数的回文子字符串的长度,odd则为奇数;

思路是逐个遍历s中的字符,然后看当前字符是否能和前面的回文字符串再加上回文字符串的前面一个字符合成一个更长的回文字符串,如果不可以,那就看看能不能和前面一个字符合成回文字符串。

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class Solution {
public:
/**
* @param s input string
* @return the longest palindromic substring
*/
string longestPalindrome(string& s) {
if (s.size() == 0) return "";
int maxNum = 0;
string result = "";
vector<int> even(s.size(), 0);
vector<int> odd(s.size(), 1);
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
// even
if (i - 1 >= 0 && s[i] == s[i - 1]) {
even[i] = 2;
}
if (i - even[i - 1] - 1 >= 0 && s[i] == s[i - even[i - 1] - 1]) {
even[i] = 2 + even[i - 1];
}
// odd
if (i - 2 >= 0 && s[i] == s[i - 2]) {
odd[i] = 3;
}
if (i - odd[i - 1] - 1 >= 0 && s[i] == s[i - odd[i - 1] - 1]) {
odd[i] = 2 + odd[i - 1];
}
if (maxNum < max(odd[i], even[i])) {
maxNum = max(odd[i], even[i]);
result = s.substr(i - maxNum + 1, maxNum);
}
}
return result;
}
};